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La fonction exponentielle

jeudi 31 juillet 2008, par mathadonf

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction ln.

De ce point de vue, leur courbe représentative sont donc symétrique par rapport à la première bissectrice du repère orthonormé d’équation y = x

f(x) = e^{x} est une fonction définie sur \mathbb{R}

{\forall x} e^{x} > 0

f ’(x) = e^{x} la fonction exponentielle a pour dérivée elle même.

(e^{u})’= u’e^{u} où u est une fonction et u’ sa dérivée

Sens de variation : sa dérivée étant toujours strictement positive,

f(x) = e^{x} est strictement croissante.

\lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0^{+} Donc asymptote horizontale y=0

\lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty

Exponentiel veut dire qui croit rapidement. Une exponentiel a^{x} (a peut être différent de e) croit plus rapidement qu’une fonction puissance x^{n} qui croit plus vite qu’une fonction ln. Ce qui veut dire que

\lim_{x \to +\infty} {e^{x}\over x} = +\infty

\lim_{x \to +\infty} {lnx\over x} = 0^{+}

Courbe représentative