Mathadonf de D. Strainchamps

Accueil > Cours magistraux > Stav > Comment calculer une limite en un point

Comment calculer une limite en un point

jeudi 31 juillet 2008, par mathadonf

Prenons la fonction f(x)={3x-2\over x-2}

Cette fonction n’est pas définie en x=2 (valeur interdite)

On va donc calculer deux limites

Une pour 2 par valeur supérieur notée 2^{>} c’est à dire pour des valeurs telles que 2,1 ; 2,01 ; 2,001 etc se rapprochant le plus de 2

Et l’autre pour 2 par valeur inférieure notée 2^{<} c’est à dire pour des valeurs telles que 1,9 ; 1,99 ; 1,999 etc se rapprochant le plus de 2

Méthode :

On calcule le numérateur en x=2 (la limite à calculer est en 2 se pourrait être un autre chiffre : voir exemple suivant) : il vaut 4 (3x-2 pour x=2)

On a donc pour 2 par valeur supérieur f(2,1) se rapproche de la valeur {4\over 2,1-2}=40 plus on se rapprocherait de 2 et plus se résultat serait grand et positif (on peut faire ce calcul au brouillon sans le mettre sur sa copie)

Donc \lim_{x \to 2^{>}}f(x)=+\infty

On a donc pour 2 par valeur inférieure f(1,9) se rapproche de la valeur {4\over 1,9-2}=-40 plus on se rapprocherait de 2 et plus se résultat serait grand et négatif (on peut faire ce calcul au brouillon sans le mettre sur sa copie)

Donc \lim_{x \to 2^{<}}f(x)=-\infty

Mais attention on a pas toujours une limite +\infty par valeur supérieur comme dans l’exemple suivant :

Prenons g(x)={4x+5\over -x+5}

On cherche la limite en 5.

On calcule le numérateur en x=5 il vaut 25.

On a donc pour 5 par valeur supérieure f(5,1) se rapproche de la valeur {25\over -5,1+5}=-250 et plus on se rapprocherait de 5, plus le résultat serait grand et négatif

Donc \lim_{x \to 5^{>}}f(x)=-\infty

et ainsi Donc \lim_{x \to 5^{<}}f(x)=+\infty

Prenons maintenant Donc h(x)={-4x+7\over -x-4}

La valeur interdite est -4.

Alors par -4 par valeur supérieure signifie -3,9 ; -3,99 ; -3,999 etc
et -4 par valeur inférieure signifie -4,1 ; -4,01 ; -4,001 etc...

Calculons le numérateur en x=-4 il vaut 23.

On a donc pour -4 par valeur supérieure f(-3,9) se rapproche de la valeur {23\over -(-3,9)-4}=-230 et plus on se rapprocherait de -4, plus le résultat serait grand et négatif

Donc \lim_{x \to -4^{>}}f(x)=-\infty

et ainsi Donc \lim_{x \to -4^{<}}f(x)=+\infty

MAIS ATTENTION LE NUMERATEUR PEUT DANS CERTAINS CAS ETRE LUI AUSSI EGALE A ZERO COMME LE DENOMINATEUR.

Dans ce cas il faut factoriser le numérateur et simplifier avec le dénominateur Exemple : i(x)={2x^{2}-x-15\over x-3}