Mathadonf de D. Strainchamps

Accueil > Cours magistraux > Stav > Arbres de probabilités

Arbres de probabilités

mercredi 9 avril 2014, par mathadonf

Soit un sac qui contient 7 boules blanches, 5 boules rouges et 3 vertes.
L’épreuve consiste à tirer 3 boules simultanément.
Quelle est le probabilité de tirer
1. 3 boules de couleurs différentes
2. 3 boules dont deux au moins sont rouges
3. Au moins 1 boules blanches sur les trois

Cet exercice peut être résolu de deux manières différentes : par le raisonnement ou par l’utilisation d’arbres de probabilité. Nous allons utiliser les deux.

PAR LE RAISONNEMENT

L’événemennt 1. "Tirer trois boules de couleurs différentes"
c’est :

Tirer une boule blanche parmi 7 : {7 \choose 1} = 7 choix anciennne notation C_{7}^{1}

ET

Tirer une boule rouge parmi 5 : {5 \choose 1} = 5 choix

ET

Tirer une boule verte parmi 3 : {3 \choose 1} = 3 choix

Soit au total 7\times 5\times 3 = 105 choix

Sur un nombre de possibilité total de {15 \choose 3} = 455 choix

P("Tirer 3 boules de couleurs différentes") = {105\over 455} \simeq 0,231


Dans cet exercice on considère une première boule, puis une seconde boule, puis une trosième car tirer simultanément revient aussi à tirer une par une.

PAR L’ARBRE DE PROBABILITE

On s’aperçoit qu’il y a 6 cas où l’on a les trois boules de couleurs différentes et chaque cas a pour proba {7\over 15}\times {5\over 14}\times {3\over 13}

La proba de l’événement 1 = {6\times 7\times 5\times 3\over 15\times 14\times 13} \simeq 0,231

CQFD

Faîtes donc les calculs avec les deux méthodes pour les événements 2 et 3