Mathadonf de D. Strainchamps

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Fonctions circulaires

mercredi 9 avril 2014, par mathadonf

Cours sur les Fonctions
circulaires ou trigonométriques


  1. Rappel de Première :


Le sinus, le cosinus et la tangente
vous ont été introduits grâce au cercle
trigonométrique de rayon l’unité.

A savoir :

(cos\alpha
+ (sin\alpha)² = 1 (car le
cercle est de rayon 1, on applique pythagore)

tan\alpha=
\sin\alpha\over \cos\alpha

Et dans un triangle rectangle ABC
rectangle en A on a :

Moyen mémo-technique : sohcahtoa (AC côté opposé
à l’angle, AB, coté adjacent, BC l’hypoténuse)


180° = 200 grades =\Pi radians.

Le radian n’est pas vraiment une unité, c’est un rapport
entre l’arc de cercle et le rayon unité on sait 2*Pi =
circonférence/Rayon de longueur 1.



  1. Les fonctions circulaires :


  1. Introduction :


On peut créer
des fonction circulaires à partir du cercle trigonométrique.
Au lieu d’appeler a l’angle, appelons le x comme toute variable d’une
fonction. x est positif si l’on tourne dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre (dit « sens trigo ») et
négatif dans le sens des aiguilles d’une montre.


De la même
manière on peut créer la fonction cos et tan.


Nous allons
maintenant étudier ces fonctions sinx, cosx et tanx.


  1. Parité


Quel que soit x on
a cos(-x) = cosx donc la fonction cosinus est paire et sa courbe
représentative est symétrique par rapport à

l’axe des ordonnées (y)


Quel que soit x on
a sin(-x) = - sinx donc la fonction sinus est impaire et sa courbe
représentative est symétrique par rapport au point
origine du repère


  1. Périodicité


Les fonctions
circulaires sont périodiques, c’est à dire qu’elles
reprennent les mêmes valeurs au bout d’un certain Delta de x


Sinus a une
périodicité de 2P c’est
à dire que sinx = sin(x + 2k
\Pi)
k étant un entier relatif

Cosinus
a une périodicité de 2\Pi

c’est à dire que cosx = cos(x + 2k\Pi)
k étant un entier relatif

Tangente a une
périodicité de \Pi c’est
à dire que tanx = tan(x + k
\Pi)
k étant un entier relatif


Quand
on aura des équations de type cos(a) = cos(b) il y aura donc
une infinité de solution toutes « distante »
les unes des autres de 2\Pi. Si
l’on demande de résoudre sur un intervalle donné il
faut voir si 1, ou 2 voir 3 solutions sont possibles.


  1. Limites


lim (sinx)/x = 1
quand x tend vers 0. (c’est à dire que pour les petits angles
x on a sinx = x).

Comme les
fonctions sont périodiques il n’y a pas de limites en
l’infini.


  1. Dérivées et
    primitives des fonctions circulaires et tableaux de variation


f

f ’

F

cos(x)

- sin(x)

sin(x)

sin(x)

cos(x)

- cos(x)

tan(x)

1 + tan²(x) = 1/cos²(x)


cos(ax+b)

-asin(ax+b)

(1/a)sin(ax+b)

sin(ax+b)

acos(ax+b)

(-1/a)cos(ax+b)


En déduire
les tableaux de variation des fonctions circulaires sur [0 ; P]
(attention tan(x) n’est pas définie en Pi/2)


  1. Formules et équations :


cos(\Pi\over {2}-
x) = sin(x) et cos(\Pi\over {2}+
x) = - sin(x)

sin(\Pi\over {2}-
x) = cos(x) = sin(\Pi\over {2}+
x)


Donc quand on a une équation du
type sin(a) = cos(b) on écrit sin(a) = cos({\Pi\over {2}}\pm a) = cos(b)

donc
{\Pi\over {2}}\pm
a = b + 2k\Pi k entier relatif
quelconque.