Mathadonf de D. Strainchamps

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Quelques conseils divers dans l’étude d’une fonction

lundi 4 août 2008, par mathadonf

Quelques conseils
divers en Analyse



I. Calcul d’équation de
tangente et traçage :


1°) Soit f(x) = -2x² + 6x –7,

calculer f ’(x), f ’(1), f(1) et l’équation de la tangente

y = f ’ (1)(x – 1) + f(1).
Tracer là.


Quand on trace une droite d’équation
y = ax + b deux cas se présentent :


(Attention , sur ces schémas on
pourrait croire que a = 1, ce n’est pas le cas. La valeur de a
dépend de y = ax + b)


Autre méthode pour tracer : ex)
y = -3x + 7 : on pose x = 0 donc y = -3x0 + 7 = 7. Donc A(0 ; 7)

on pose x = 2 donc y = -3x2 + 7 = 1.
Donc B(2 ; 1)


2°) Calculer les dérivées
des fonctions suivantes :


g(x)={{-2x^{2}+3x+36}\over{x-4}}


h(x)={{3x+7}\over{-5x+3}}


i(x)={{4x^{2}}\over{5x-7}}


{({u}\over{v})’}={{u’v-v’u}\over{v^{2}}}

3°) Petite remarque sur les
erreurs de simplifications :


On ne simplifie que lorsque les nombres
ou les x sont facteurs multiplicatifs à la fois du numérateur
et du dénominateur. Exemple



4°) Reprenons la fonction g du
2°) et étudions cette fonction : c-a-d (Domaine de
définition, dérivée, signe de la dérivée,
tableau de variation, limites à mettre dans le tableau de
variation, courbe représentative).


Rappel sur les
limites :


En + ou - l’inifini

Deux cas :

  1. la fonction
    est un polynome :

Alors on
s’intéresse au monôme de plus haut degré et à

son signe

Ainsi -x3 tend vers +
quand x tend vers - car x3
est négatif pour x négatif
et le signe moins
devant x3 change le signe en +.

  1. la fonction
    est une fonction fractionnelle :

Alors on s’intéresse
au rapport des monomes de plus haut degré du numérateur
et du dénominateur.

Trois cas se présentent :

a) Le degré du
numérateur est plus grand, on se retouve donc dans le cas 1.
des polynomes.

b) ou
bien les degré sont identiques les limites en + ou –
l’infini sont une constantes (si le rapport est axn/bxn

la constante est a/b. On a alors une asymptote horizontale
y = a/b
),

c)
ou bien
le degré du dénominateur est plus grand,
les limites en + ou – l’infini sont nulles (car plus on divise
par quelquechose de grand, plus le résultat est petit. Donc
asymptote y = 0
)


En x = a avec la valeur a exclue du domaine de définition :

On regarde le graphique de sa
calculatrice, ou le tableur de sa calculatrice avec sur les casio un
pitch de 0,1 et sur les TI un scl de 0,1 pour voir comment évolue
la fonction aux environs de x = a

En général on a des limites qui tendent vers + ou -
l’inifini





Rappel sur les
signes de dérivée :


  1. Pour un
    polynome :

- Si la dérivée est
une équation du second degré (théorème :
Si Delta
> 0 c’est du signe de a à l’extérieur
des racines, Si Delta = 0, c’est du signe de a quelle que soit x et
nulle pour x0 = -b/(2a), et enfin si Delta < 0, c’est du signe de
a quelle que soit la valeur de x et jamais nul).

Vous pouvez ne pas utiliser ce
théorème et faire un tableau de signe.

    • Si la dérivée est
      du premier degré (type ax + b) : deux cas


  1. Pour une fonction fractionnelle :

Quand on calcule la dérivée
on a au dénominateur v² (voir 2°)). ON LE LAISSE
AINSI, car c’est un carré et son signe est toujours positif.
Donc en fait on ne s’intéresse qu’au signe du numérateur
de f ’(x)
. On retombe dans le cas 1. Pour un polynome

ci-dessus.



Pour la courbe représentative :


On utilise le tableur de la
calculatrice.