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Nombre dérivé

lundi 14 avril 2014, par mathadonf

Introduction

Pour une fonction f donnée on peut calculer une formule qui s’appelle le taux d’accroissement t= ${f(x_{2}) - f(x_{1})}\over {x_{2} - x_{1}}$ .
Si pour tout $x_{1} et x_{2}$ appartenant à intervalle I avec $x_{2} > x_{1}$ ce taux est positif, la fonction est dite croissante sur I, si ce taux est négatif, la fonction est dite décroissante sur I.

Leibniz le père du calcul infinitésimal (avec Newton qui lui a fait un procès inégal pour dire qu’il était le premier à découvrir le calcul infinitésimal) s’est intéresser de savoir ce que devenait le taux d’accroissement lorsque $x_{2} - x_{1}$ se rapprochait de zero

Voyons graphiquement ce que celà donne.

Vous avez deux points $M_{0}(x_{0} ; f(x_{0}))$ et le point $M(x_{0} + h ; f(x_{0} + h))$ où $x_{1}$ est remplacé par $x_{0}$ et $x_{2}$ est remplacé par $x_{0} + h$ . M glisse sur la courbe vers $M_{0}$ .

Le coéfficient directeur m de l’équation y=mx+p de la droite tracée sur le graphique est égale à :

${f(x_{0} + h) - f(x_{0})}\over {(x_{0} + h) - x_{0}}$

ET QUAND h tend vers zéro, ce coefficient directeur est celui de la tangente en $M_{0}(x_{0} ; f(x_{0}))$ . Ce coefficient est appelé nombre dérivée de f en $x_{0}$ et noté $f’(x_{0})$ f prime de $x_{0}$ .

Notion de limites en zéro

Exemple de deux calcul de nombre dérivée

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