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Proportionnalité, pourcentages et échelles

mercredi 9 avril 2014, par mathadonf

Proportionnalité,
pourcentages et échelles



I. Introduction


A l’occasion de la victoire pour la
coupe du monde 1998, la FFF a voulu immortaliser la victoire en
réalisant une maquette du stade de France avec la position des
22 joueurs au moment du premier but.


Les dimensions du stade sont 320 m sur
280m et une hauteur de 46 m.


Les figurines mesures 2 cm pour un
joueur de 1 m 80.


Calculer les dimensions de la maquette.



II. Proportionnalité de deux suites de nombres


II.1. Définition


Deux suites de nombres (a, b, c) et
(a’, b’, c’) sont dites proportionnelles si



La constante est souvent notée k
et appelée facteur de proportionnalité


II.2. Tableaux de proportionnalité


Exemple 1 :


Une voiture roule à 90 km/h

x= temps en h

y= distance parcourue en kms


x

1

2

3

4

y






On a le facteur de proportionnalité
qui est égale à :__________


On a l’équation :




Ce qui correspond au graphique
suivant :












Exemple 2 :


x

3

12

24

48

y

5







II.3. Produits en croix


Si l’on a deux suites
proportionnelles : (a, c) proportionnelle à (b, d), on a



On en déduit que



On peut ainsi poser le produit en croix


Première suite proportionnelle

Deuxième suite proportionnelle

a

b

c

d

ou le tableau


Première suite

a

c

Deuxième suite

b

d


Et si l’on cherche d :


d =


Tout le problème consiste à
bien poser le tableau et à trouver dans l’exercice que a est
proportionnel à b

Exercice d’application :


Un horticulteur veut vendre 25 bulbes
de tulipes pour 3 euros. S’il garde cette proportion combien
coûteront 350 bulbes.


III. Pourcentages


III.1. Définition


Un pourcentage est une proportion

que l’on a multipliée par 100


x % =


III.2. Appliquer un pourcentage à une augmentation ou à une réduction


Plusieurs méthodes sont
possibles : a) le produit en croix

b) les facteurs multiplicatifs



a) le produit en croix


Exemple 1 : Augmentation de 20 %
d’un prix de 30 €. On a 100%+20 % = 120 %


Prix de départ

100

30

Prix final

120

x



On a : x = 120x30/100
= 36 €


ou autre tableau dans l’autre sens :


Prix départ

Prix final

100

120

30

x = 30x120/100 = 36


ou encore


Prix

%

30

100

x = 30x120/100 = 36

120

Exemple 2 Une diminution de 5 %
pour un prix de 15 €


On a 100 % - 5 % = 95 %


Prix de départ

100

15

Prix final

95

x



On a : x = 95x15/100
= 14,25 €


ou autre tableau dans l’autre sens :


Prix départ

Prix final

100

95

15

x = 15x95/100 =
14,25 €


ou encore


Prix

%

15

100

x = 15x95/100 =
14,25 €

95


b) les facteurs multiplicatifs


Reprenons l’exemple 1 du a)


20 % = 20/100 = 0,2


Donc pour une augmentation de 20 %
il suffit de multiplier par 1+0,2=1,2


prix final = prix départ x
1,2


Reprenons
l’exemple 2 du a)


5 % = 5/100 =
0,05


Donc pour une
diminution de 5 % il suffit de multiplier par 1-0,05 = 0,95


prix final = prix départ x
0,95




III.3. Retrouver un prix (ou autre chose) avant son augmentation ou avant sa diminution



Je vous déconseille le produit en croix dans ces cas là
car on peut se tromper très facilement



Exemple 1 du III.2 a) après une augmentation de 20 %

on a alors

prix de départ = prix final / 1,2



Exemple 2 du III.2 a) après une diminution de 5 %

on a alors

prix de départ = prix final / 0,95



IV. Cas des échelles sur une carte



IV.1. Définition



Une échelle est une proportion
dont
le numérateur est égale à 1 (a = 1)

Le numérateur représente 1 cm sur la carte et la
dénominateur b représente la distance réelle en
cm



IV.2. Quelques règles



Il faut en matière
d’échelle toujours raisonner en cm (du moins au départ)


Exemple :
Echelle 1/200000e


Sur la carte

Dans le réel

1 cm

200000 cm


Ensuite tableau de
conversion obligatoire


km

hm

dam

m

dm

cm

2

0

0

0

0

0


On a alors :
1cm sur la carte représente dans le réel 2000 m ou 2km.